définition :
Pour \(z\in\Bbb C\), une racine carrée est \(\omega\in\Bbb C\) tel que \(\omega^2=z\)
Proposition :
Si \(z\in\Bbb C\), alors \(z\) admet deux racines carrées : \(\omega\) et \(-\omega\) (tous deux complexes)
>démonstration :
>soit \(\omega=x+iy,\omega^2=z\). On a \(z=a+ib\)
>$$(x+iy)^2=a+ib$$$\(\Rightarrow\begin{cases}x^2-y^2=a\quad(1)\\ 2xy=b\quad(2)\end{cases}\)$de plus, on a : $$|\omega^2|=|z|\Rightarrow x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}\quad(3)$$alors $$\Rightarrow\begin{cases}2x^2=a+\sqrt{a^2+b^2}\quad(1)+(3)\\ 2y^2=\sqrt{a^2+b^2}-a\quad(2)+(3)\end{cases}$$$\(\Rightarrow\begin{cases}x=\pm\frac{\sqrt{a+\sqrt{a^2+b^2}}}{\sqrt 2}\quad(4)\\ y=\pm\frac{\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-a}}{\sqrt 2}\quad(5)\end{cases}\)$si \(b\geqslant 0\), alors $$\omega = \pm\frac{1}{\sqrt 2}\left(\frac{\sqrt{a+\sqrt{a^2+b^2}}}{\sqrt 2}+i\frac{\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-a}}{\sqrt 2}\right)$$si \(b\leqslant0\), $$\omega = \pm\frac{1}{\sqrt 2}\left(\frac{\sqrt{a+\sqrt{a^2+b^2}}}{\sqrt 2}-i\frac{\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-a}}{\sqrt 2}\right)$$
>un nombre complexe a donc deux racines réelles seulement